Fue un médico legista argentino nacido en Buenos Aires el 1 de septiembre de 1865. Fue llamado el médico apóstol por su notable formación y su dedicación a la lucha contra la tuberculosis, habiendo escrito trabajos importantes sobre su tratamiento.

Comenzó sus estudios en la Facultad de Medicina de la Universidad de buenos Aires, pero los terminó en París, habiendo sido destinado a Francia como miembro de la legación argentina. Su tesis doctoral versó sobre las operaciones que se practican por la vía sacra. Trabajó en el Hospital San Andrés de Burdeos, junto al destacado neuropsiquiatra Albert Pitres.  

A su regreso a Argentina, se estableció en Buenos Aires y trabajó en varios hospitales. En su labor, se destaca el haber fijado pautas para las curas "de aire", "de altura" y "de reposo".

Entre 1898 y 1900, como delegado honorario del Departamento Nacional de Higiene, recorrió la Provincia de Córdoba para identificar los mejores lugares en la sierra para tratar la tuberculosis, habiendo colaborado en la fundación del Hospital Colonia de Santa María de Punilla. Fue también un impulsor de la Liga Argentina contra la tuberculosis, fundada el 11 de mayo de 1901. 

A pesar de su dedicación, Tornú se quitó la vida el 23 de agosto de 1901, a los 35 años, afectado por la enfermedad que había combatido. Estaba casado con Martina Ojeda y tenía tres hijas. Su labor en la lucha contra la tuberculosis dejó un legado significativo en la salud pública argentina. 

En homenaje lleva su nombre El Hospital General de Agudos Dr. Enrique Tornú. Ubicado en la Avenida Combatientes de Malvinas 3002, en el límite entre los barrios de Parque Chas y Villa Ortúzar en la Ciudad Autónoma de Buenos Aires.